Mesquita (1998)

Mesquita, A. L. (1998). On conceptual obstacles linked with external representation. in geometry. Journal of Mathematical Behavior, 17 (2), 183-195.

短く,読みやすい非常に良い論文でした.著者は,フランス・ストラスブールの Duval らの研究グループの一員です.幾何,特に図形についての研究を主に進めてきた方です.研究の内容は大まかに知っていましたが,論文をあまり深く読んだことはありませんでした(おそらく一本ぐらいはあるけど,忘れてしまった).今回はひょんなことから読むことになりました.

論文では,図形・図の機能と役割について非常にうまくまとめられています.新しいものはあまりなく,レビュー的要素が強いですが,図形について日頃思っていることを,いい言葉を導入し,うまく説明しています.表現 (representation) に関する研究では,Duval の register の概念を用いるといろいろなことを非常にうまく説明できます.しかし,この論文では,それとはまた少し異なった視点,心理的・文化的な視点にも焦点を当てています.以下,簡単に,特に用いられている用語に注目して,内容を紹介します.

1. 「幾何学的空間 (geometrical space)」と「表象的空間 (representative space)」
前者は,幾何的な,抽象的な,幾何対象が存在する空間.後者は,われわれの表現(表象)や感覚の枠組みとなる空間(紙上や現実の空間など)である.この区分は,今日的には,数学教育関係者はみな知っていることと思いますが,これらはポアンカレの『科学と仮説』で論じられているそうです.つまり,私はこの本をちゃんと読んでいなかったということです.

2. 表現の典型性
認知心理学の研究を援用し,図的表現には典型性があることを示しています.つまり,数学的にはほぼ同値であっても,典型的な (typical) 図や原型的な (prototypical) 図が存在し,人間がそれ以外の図を認識しづらいことがあるということです.これもよく知られたことだと思いますが,そのベースを教えてくれます.

3. 表現の役割
描写的 (descriptive) 役割と発見的 (heuristical) 役割が紹介されています.まあよく知られたことです.

4. 表現の本性
表現の扱いの点からすると,表現は「対象 (object)」と「イラスト (illustration)」に分けられるとします.前者は,その表現自体を幾何的な推論に利用できたり,新たな関係・性質を得たりすることができる表現です.後者は,それらができないものです.例えば,ある幾何学的な対象をある程度の形は示しているが,角度や長さなどがいい加減に示されている図(正方形が台形のように描かれている図など)が,イラストにあたります.
この区分については,これまであまり考えたことがなかったですが,非常に面白いです.前者と後者は,両方とも図的表現ですが,register (Duval の意味で)として異なります.実際,使える操作が違います.さらに,register では,図的 register の要素の議論がありますが,この場合は,長さと角が異なる程度で非常に似た要素を持ちますが,register としては大きく異なるのです.
なお,学校現場でもこの性質を利用する場面がたまにみられます.図に頼らせないために,生徒に上の意味での「イラスト」を与えることがあります.これは,問題を解くために図的な register を使わせないようにしていると説明できます.

以上です.

この論文は本当に読みやすく,かつ図的表現に関する基礎的なものが沢山出てきますので,修士課程の院生などが勉強するのに良いのではないでしょうか.

追記:私は,representation の訳として「表現」という言葉をよく使いますが,「表象」などとも訳されたりすることもあるようです.私は,「表象」というとなんとなく難しそうなので基本的に使いません,私にとっての,representation とは,何か抽象的なものを示すために,人間の感覚(視覚や聴覚など)によって認識できるように利用された「もの」です.記号や図をはじめ,ジェスチャー,絵画などなど,すべて「表現」になります.

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